数学分析(第四版)上册课后习题答案概览
由于数学分析(第四版)上册的课后习题数量众多，且详细解答会占用大量篇幅，因此这里仅提供部分典型习题的解答思路或关键步骤，以及部分习题的参考答案。具体习题的详细解答，建议参考相关教辅资料或咨询任课教师。
第1章 实数集与函数
习题1.1：证明有理数集在实数集内既不是上密也不是下密的。
解答思路：通过构造特定的有理数和无理数序列，展示有理数在实数中的稀疏性。
习题1.2：证明函数$f(x)=[x]$（$x$的整数部分）在$mathbf{R}$上是单调增加的，但不是严格单调增加的。
解答：根据整数部分的定义，对于任意$x_1<x_2$，有$[x_1]leq[x_2]$，且存在$x_1,x_2$为相邻整数时取等号，故单调增加但不严格。
第2章 数列极限
习题2.1：证明：若数列${a_n}$收敛，则它的任何子数列也收敛，且极限相同。
解答：利用数列收敛的定义，通过反证法证明子数列的极限与原数列极限相同。
习题2.5：设$a_n>0$，且$lim_{ntoinfty}a_n=a$，证明：$lim_{ntoinfty}sqrt{a_n}=sqrt{a}$。
解答：利用极限的运算法则和夹逼定理进行证明。
第3章 函数极限
习题3.1：证明：$lim_{xto 0}frac{sin x}{x}=1$。
解答：利用洛必达法则或泰勒展开式进行证明。
习题3.3：讨论函数$f(x)=frac{x^2}{1+|x|}$在$x=0$处的极限及连续性。
解答：直接代入$x=0$求极限，并讨论函数在$x=0$处的连续性。
第4、5章 函数的连续性、导数和微分
习题4.1：证明：若函数$f(x)$在$x_0$处连续，且$f(x_0)>0$，$f(x_0+delta)<0$，$f(x_0-delta)<0$（$delta>0$），则函数$f(x)$在$(x_0-delta,x_0+delta)$内必有零点。
解答：利用零点存在定理进行证明。
习题5.3：求函数$y=x^3-3x^2+3x-1$的导数，并讨论其单调性。
解答：求导得$y'=3x^2-6x+3=3(x-1)^2$，由于$(x-1)^2geq0$，所以$y'geq0$，函数在全体实数上单调递增。
第6、7章 微分中值定理及其应用、实数的完备性
习题6.1：利用罗尔定理证明：若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，则存在$cin(a,b)$，使得$f'(c)-frac{f(c)}{c-a}=frac{f(c)}{b-c}$。
解答：构造函数$F(x)=f(x)(x-a)(b-x)$，利用罗尔定理证明。
习题7.2：证明：实数集$mathbf{R}$具有确界性。
解答：利用反证法和实数集的性质进行证明。
第8、9章 不定积分、定积分
习题8.1：求不定积分$int(2x+1)dx$。
解答：直接积分得$int(2x+1)dx=x^2+x+C$。
习题9.2：计算定积分$int_{0}^{1}(x^2+1)dx$。
解答：直接积分并代入上下限得$int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(frac{1}{3}x^3+x)|_{0}^{1}=frac{4}{3}$。
第10、11章 定积分的应用、反常积分
习题10.1：利用定积分求圆面积$S=pi r^2$。
解答：将圆划分为若干小扇形，利用小扇形的面积和求极限得到圆的面积。
习题11.1：判断反常积分$int_{1}^{+infty}frac{1}{x^2}dx$是否收敛，并求其值。
解答：直接积分得$int_{1}^{+infty}frac{1}{x^2}dx=-frac{1}{x}|_{1}^{+infty}=1$，所以收敛且值为1。
注意：以上仅为部分习题的解答思路或关键步骤，并非完整解答。对于具体习题的详细解答，建议参考相关教辅资料或咨询任课教师。同时，由于篇幅限制，部分习题的解答可能较为简略，如需更详细的解答，请自行查阅相关资料。
