连分数是形如 (a_1+dfrac{b_1}{a_2+dfrac{b_2}{a_3+dfrac{b_3}{a_4+cdots}}}) 的分数表达式，初等数论中主要研究简单连分数 (a_1+dfrac{1}{a_2+dfrac{1}{a_3+dfrac{1}{a_4+cdots}}})，可用 ([a_1,a_2,a_3,cdots,a_n]) 表示有限连分数。以下从定义、有理数表示、渐进分数、无理数表示、作用几个方面详细介绍：
连分数的一般形式为 (a_1+dfrac{b_1}{a_2+dfrac{b_2}{a_3+dfrac{b_3}{a_4+cdots}}})，初等数论主要聚焦于简单连分数，即分子部分全为 1 的形式 (a_1+dfrac{1}{a_2+dfrac{1}{a_3+dfrac{1}{a_4+cdots}}})。
有限简单连分数可简洁表示为 ([a_1,a_2,a_3,cdots,a_n])，例如 (dfrac{29}{67}=[0,2,3,4,2]=0+dfrac{1}{2+dfrac{1}{3+dfrac{1}{4+dfrac{1}{2}}}}) 。这种表示方法本质上与带余除法紧密相关，以 (dfrac{89}{26}) 为例，通过多次带余除法：(dfrac{89}{26}=3+dfrac{11}{26})，(dfrac{26}{11}=2+dfrac{4}{11})，(dfrac{11}{4}=2+dfrac{3}{4})，(dfrac{4}{3}=1+dfrac{1}{3})，最终得到 (dfrac{89}{26}=[3,2,2,1,3])。
任意一个有理数都能够表示成连分数的形式。这是因为有理数的带余除法过程是有限的，通过逐步进行带余除法，将每一次的商和余数按照特定规则整理，就可以得到该有理数对应的有限连分数表示。例如上述 (dfrac{29}{67}) 和 (dfrac{89}{26}) 的例子，都清晰地展示了有理数如何转化为连分数。
标记 (c_1=dfrac{a_1}{1},c_2=a_1+dfrac{1}{a_2},c_3=a_1+dfrac{1}{a_2+dfrac{1}{a_3}}) 等，(c_i) 被称为连分数的第 (i) 个渐进分数。
进一步分析可得 (c_1 = a_1)，(c_2=dfrac{a_1a_2 + 1}{a_2})，(c_3=dfrac{a_1a_2a_3 + a_1 + a_3}{a_2a_3 + 1})，(c_4=dfrac{a_1a_2a_3a_4 + a_1a_2 + a_1a_4 + a_3a_4 + 1}{a_2a_3a_4 + a_2 + a_4}) 。
令 (p_i) 表示 (c_i) 的分子部分，(q_i) 表示 (c_i) 的分母部分，可归纳出递推公式 (p_i=a_ip_{i - 1}+p_{i - 2})，(q_i=a_iq_{i - 1}+q_{i - 2})（(igeq3)）。
此外，还能得到 (dfrac{p_n}{p_{n - 1}}=[a_n,a_{n - 1},cdots,a_1])，(dfrac{q_n}{q_{n - 1}}=[a_n,a_{n - 1},cdots,a_2]) ，以及 (p_iq_{i - 1}-p_{i - 1}q_i=(-1)^i) 。并且若 (x=[a_1,a_2,cdots,a_n])，那么 (dfrac{1}{x}=[0,a_1,a_2,cdots,a_n])。
在讨论无理数时，连分数的优势显著体现。以 (sqrt{2}) 为例，设 (x = sqrt{2})，由 (x^2 = 2) 可推导出 (x(x + 1)=x^2 + x = 2 + x)，进而得到 (x=dfrac{x + 2}{x + 1}=1+dfrac{1}{1 + x}=1+dfrac{1}{2+dfrac{1}{x + 1}})，持续展开可得 (sqrt{2}=1+dfrac{1}{2+dfrac{1}{2+dfrac{1}{2+cdots}}}=[1,2,2,2,2cdots]) 。最早希帕索斯运用几何思想证明了 (sqrt{2}) 是无理数，同时也找到了其连分数展开式。
再如 (pi=3+dfrac{1}{7+dfrac{1}{15+dfrac{1}{1+dfrac{1}{292+dfrac{1}{1+dfrac{1}{1+cdots}}}}}}) ，这种无限连分数的表示形式为深入研究无理数的性质提供了有力工具。
虽然用连分数表示有理数看似使形式变得复杂，但在处理无理数相关问题时具有重要价值。
连分数能够解决一些凸包问题，在计算几何领域，凸包问题是一类基础且重要的问题，连分数为其提供了独特的解决思路和方法。
连分数还可用于解决类欧几里得或者扩展欧几里得的题目，在数论的算法设计和问题求解中发挥着关键作用。
